Ньютона бином

Определение "Ньютона бином" в Большой Советской Энциклопедии

Ньютона бином, название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
(1)
(1) где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.

Частными случаями Ньютона бином при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)² = а² + 2ab + b², (а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³; при n = 4 получают (а + b)⁴ = a⁴+ 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ и т.д.

Коэффициенты формулы (или разложения) Ньютона бином называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a^n-kb^k обозначается так:  или . Последнее обозначение связано с комбинаторикой: есть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) ⁿ⁺¹; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)³ дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)⁴. Вообще:

Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).

Формула Ньютона бином для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем, 1826). В этом более общем случае формула Ньютона бином начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a^n-kb^k служит выражение , которое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если êbê < êаê, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) ⁿ (см. Ряд). Формула Ньютона бином играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).