Ряд (математич.)

Определение "Ряд (математич.)" в Большой Советской Энциклопедии

Ряд, бесконечная сумма, например вида
u₁ + u₂ + u₃ +... + u_n +...
или, короче,
.     (1)
Одним из простейших примеров Ряд (математич.), встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 + q + q ² +... + q ⁿ +... = 1/(1 - q), ½q½< 1.     (2)

Ряд (математич.) широко используются в математике и её приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближённых численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных Ряд (математич.), с помощью которых удобно вычислять их приближённые значения с нужной точностью. Например, для числа p имеется Ряд (математич.)
,     (3)
для основания е натуральных логарифмов — Ряд (математич.)
,     (4)
а для натурального логарифма In₂ — ряд
.

Метод разложения в Ряд (математич.) является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближённых значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.

При численных расчётах, когда Ряд (математич.) заменяется конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при этом погрешности (оценку «скорости сходимости» Ряд (математич.)). При этом целесообразно использовать Ряд (математич.), у которых эти погрешности достаточно быстро стремятся к нулю с возрастанием номера n. Например, в случае Ряд (математич.) (4) оценка указанной погрешности имеет вид 0 < е — s_n < 1/n! n.

  Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов. Так, для числа p, кроме Ряд (математич.) (3), имеются и другие Ряд (математич.), например
,

однако он сходится значительно «медленнее» Ряд (математич.) (3), и потому его невыгодно использовать для приближённого вычисления числа p. Существуют методы преобразования Ряд (математич.), иногда улучшающие скорость сходимости Ряд (математич.)
На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Ряд (математич.)
1 - 1 + 1 - 1 +...     (5)

и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1—1) + (1—1) +... = 0; при другом же способе группировки 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —... = 1. Поэтому следует дать чёткое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определённых условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.

Числовые ряды. Формально Ряд (математич.) (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей {u_n} и {S_n} таких, что S_n = u₁ +... + u_n, n = 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Ряд (математич.), а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее S_n называется частичной суммой n-го порядка Ряд (математич.) (1)]. Ряд (математич.) (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {S_n}. В этом случае предел

называется суммой Ряд (математич.) и пишется

Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Ряд (математич.), так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Ряд (математич.) называется расходящимся. Примером сходящегося Ряд (математич.) является Ряд (математич.) (2), расходящегося — Ряд (математич.) (5). Каждый Ряд (математич.) однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности {s_n} имеется и притом единственный Ряд (математич.), для которого она является последовательностью его частичных сумм, причём члены u_n этого Ряд (математич.) определяются по формулам u₁ = s₁,..., u_n+1 = s_n+1 — s_n,..., n = 1, 2,... В силу этого изучение Ряд (математич.) эквивалентно изучению последовательностей.

Ряд (математич.)  называется остатком порядка n Ряд (математич.) (1). Если Ряд (математич.) сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Ряд (математич.) сходится, то и сам Ряд (математич.) также сходится. Если остаток порядка n Ряд (математич.) (1) сходится и его сумма равна r_n, то s = s_n + r_п.
  Если Ряд (математич.) (1) и Ряд (математич.)

сходятся, то сходится и Ряд (математич.)
,

называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Ряд (математич.) Если Ряд (математич.)(1) сходится и l — комплексное число, то Ряд (математич.)
,
называемый произведением Ряд (математич.) на число l, также сходится и
.

Условие сходимости Ряд (математич.), не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Ряд (математич.) неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Ряд (математич.) (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n_e, что при любом n ³ n_e и любом целом р ³ 0 выполнялось неравенство
.
Отсюда следует, что если Ряд (математич.) (1) сходится, то

Обратное неверно: n-й член так называемого гармонического ряда

стремится к нулю, однако этот Ряд (математич.) расходится.

Большую роль в теории Ряд (математич.) играют Ряд (математич.) с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Ряд (математич.) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
,
поэтому в этом случае пишут
.
Для Ряд (математич.) с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Ряд (математич.)
     (7)
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
.
С помощью этого признака легко устанавливается, что Ряд (математич.)
     (8)
сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

Признак сравнения: если для двух Ряд (математич.) (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ u_n  £ c u_n, то из сходимости Ряд (математич.) (6) следует сходимость Ряд (математич.) (1), а из расходимости Ряд (математич.) (1) — расходимость Ряд (математич.) (6). Обычно для сравнения берётся Ряд (математич.) (8), а в заданном Ряд (математич.) выделяется главная часть вида А/n ^a. Таким методом сразу получается, что Ряд (математич.) с n-м членом
,
где

сходится, поскольку сходится Ряд (математич.)
.
Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если

то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Ряд (математич.) сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Ряд (математич.) расходится. Так, например, Ряд (математич.) с n-м членом u_n = sin (1/n ²) сходится, ибо
 (a = 2)
a Ряд (математич.) с u_n = tg (p/n) расходится, здесь
  (a = 1)

Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д"Аламбера: если существует  (u_n > 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует   (u_n ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 P. расходится. При I = 1 как в случае признака Д"Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Ряд (математич.)

Важный класс Ряд (математич.) составляют абсолютно сходящиеся ряды: Ряд (математич.) (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Ряд (математич.)
.
Если Ряд (математич.) абсолютно сходится, то он и просто сходится. Ряд (математич.)

абсолютно сходится, а Ряд (математич.)

сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Ряд (математич.) и произведение абсолютно сходящегося Ряд (математич.) на число являются также абсолютно сходящимися Ряд (математич.) На абсолютно сходящиеся Ряд (математич.) наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
     (9)

— P., составленный из тех же членов, что и Ряд (математич.) (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Ряд (математич.) (1) сходится абсолютно, то Ряд (математич.) (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Ряд (математич.) (1). Если Ряд (математич.) (1) и Ряд (математич.) (6) абсолютно сходятся, то Ряд (математич.), полученный из всевозможных попарных произведений u_mu_n членов этих Ряд (математич.), расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Ряд (математич.) равна s, а суммы Ряд (математич.) (1) и (6) равны соответственно s₁ и s₂, то s = s₁s₂, т. е. абсолютно сходящиеся Ряд (математич.) можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Ряд (математич.) с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.

Для Ряд (математич.), не абсолютно сходящихся (такие Ряд (математич.) называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Ряд (математич.) можно получить Ряд (математич.), имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Ряд (математич.) Примером условно сходящегося Ряд (математич.) может служить Ряд (математич.)
.
Если в этом Ряд (математич.) переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
,
то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Ряд (математич.) Например, признак Лейбница: если
, ,
то знакочередующийся Ряд (математич.)
     (10)
сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Ряд (математич.), представимых в виде
.     (11)
Признак Абеля: если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а Ряд (математич.)

сходится, то Ряд (математич.) (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {a_n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Ряд (математич.)

ограничена, то Ряд (математич.) (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Ряд (математич.)

сходится при всех действительных a.
  Иногда рассматриваются Ряд (математич.) вида
.
Такой Ряд (математич.) называется сходящимся, если сходятся Ряд (математич.)
 и
сумма этих Ряд (математич.) называется суммой исходного Ряд (математич.)
Ряд (математич.) более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Ряд (математич.) вида
,

где  — заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами, n₁, n₂,..., n_k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Ряд (математич.) этого типа — двойные ряды.

  Для некоторых числовых Ряд (математич.) удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Ряд (математич.) Например, для суммы геометрической прогрессии (2)
r_n = qⁿ⁺¹/(1 - q), ½q½< 1,
для P. (7) при сделанных предположениях
,
а для P. (10)
½r_n½ £ u_n+1

С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Ряд (математич.) В математике используются не только сходящиеся Ряд (математич.), но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Ряд (математич.) (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Ряд (математич.) (5) можно просуммировать определённым способом к ¹/₂.

Функциональные ряды. Понятие Ряд (математич.) естественным образом обобщается на случай, когда членами Ряд (математич.) являются функции u_n = u_n (x) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определённые на некотором множестве Е. В этом случае ряд
,      (11)
называется функциональным.

Если Ряд (математич.) (11) сходится в каждой точке множества Е, то он называется сходящимся на множестве Е. Пример: Ряд (математич.)  сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Ряд (математич.) непрерывных, например, на некотором отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные Ряд (математич.) переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Ряд (математич.) Сходящийся Ряд (математич.) (11) называется равномерно сходящимся на множестве Е, если во всех точках Е отклонение частичных сумм Ряд (математич.)

при достаточно больших номерах n от суммы Ряд (математич.)

не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число e > О, существует такой номер n_e, что

для всех номеров n £ n_e и всех точек х Î Е. Это условие равносильно тому, что

[ — верхняя грань  на Е]. Например, Ряд (математич.)

равномерно сходится на отрезке [0, q] при 0 < q < 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

Критерий Коши: для того чтобы Ряд (математич.) (11) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n_e, что для всех номеров п ³ n_e, р … 0 и всех точек выполнялось неравенство

Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся числовой Ряд (математич.)
,

что ê, , n = 1, 2,..., то Ряд (математич.) (11) равномерно сходится на Е.

  Сумма равномерно сходящегося Ряд (математич.) непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Ряд (математич.) интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Ряд (математич.) можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Ряд (математич.) интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерной функции равен сумме Ряд (математич.) из интегралов от членов Ряд (математич.) Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Ряд (математич.) с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке Ряд (математич.) (11) дифференцируемы на нём и Ряд (математич.) из их производных сходится равномерно, то сумма Ряд (математич.) также дифференцируема на этом отрезке и Ряд (математич.) можно почленно дифференцировать.

Понятие функционального Ряд (математич.) обобщается и на случай кратных Ряд (математич.) В различных разделах математики и её приложениях широко используется разложение функции в функциональные Ряд (математич.), прежде всего в степенные ряды, тригонометрические ряды и, более общо, в Ряд (математич.) по специальным функциям некоторых операторов.

К понятию бесконечных сумм подошли ещё учёные Древней Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Ряд (математич.) вошёл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Ряд (математич.) для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Ряд (математич.) успешно развивалась в 18—19 вв. в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Д" Аламбера, Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Ряд (математич.), хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория Ряд (математич.) была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и др.

Лит.: Маркушевич А. И., Ряды. Элементарный очерк, 3 изд., М., 1957; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.
  Л. Д. Кудрявцев.