Обобщённые функции

Определение "Обобщённые функции" в Большой Советской Энциклопедии

Обобщённые функции, математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие Обобщённые функции, с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии Обобщённые функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, Обобщённые функции служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе Обобщённые функции называют распределениями.

Обобщённые функции были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и её производных. Основы математической теории Обобщённые функции были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории Обобщённые функции В дальнейшем теорию Обобщённые функции интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория Обобщённые функции имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально Обобщённые функции определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством основных функций j(x). Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными Обобщённые функции) вида
(f, j) = òf (x)j(x) dx.     (1)
Произвольная Обобщённые функции f определяется как функционал f’, задаваемый равенством
(f¢, j) = ‑ (f, j¢).     (2)

При таком соглашении каждая Обобщённые функции бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x), так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве Обобщённые функции вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования Обобщённые функции непрерывна, а сходящаяся последовательность Обобщённые функции допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над Обобщённые функции, например свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия Обобщённые функции, расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование Обобщённые функции существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
Примеры. 1) d-функция Дирака:
(d, j) = j(0),
описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.
2) q (x) - функция Хевисайда: q(x) = 0, х £ 0, q(x) = 1, x > 0, q" = d;
производная от неё равна единичному импульсу.
3) -d" - плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х.
4) md_s - плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью m:

5)  - плотность двойного слоя на поверхности S с поверхностной плотностью момента n диполей, ориентированных вдоль направления нормали n:
.
6) Свёртка

  - ньютонов потенциал с плотностью f, где f - любая Обобщённые функции [например, из 1), 3), 4) и 5)].
7) Общее решение уравнения колебаний струны

задаётся формулой
u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),
где f и g - любые Обобщённые функции

Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.-Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.
  В. С. Владимиров.