Операторы

Определение "Операторы" в Большой Советской Энциклопедии

Операторы в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) y др. определённых векторов (функций) y". Соотношение между y и y" записывается в виде y" = y, где  - оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие Операторы  (Операторы координаты, Операторы импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) y, т. е. на величину, описывающую состояние физической системы.

Простейшие виды Операторы, действующих на волновую функцию y(х) (где х - координата частицы), - Операторы умножения (например, Операторы координаты , y = хy) и о. дифференцирования (например, Операторы импульса , y =, где i - мнимая единица,  - постоянная Планка). Если y - вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то Операторы представляет собой квадратную таблицу - матрицу.

  В квантовой механике в основном используются линейные операторы. Это означает, что они обладают следующим свойством: если y₁ = y"₁ и y₂ = y"₂, то (c₁y₁ + c₂y₂) = c₁y"₁ + c₂y"₂, где c₁ и с₂ - комплексные числа. Это свойство отражает суперпозиции принцип - один из основных принципов квантовой механики.

Существенные свойства Операторы  определяются уравнением y_n = l_ny_n, где l_n - число. Решения этого уравнения y_n называется собственными функциями (собственными векторами) оператора . Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение l_n. Числа l_n называется собственными значениями Операторы , а их совокупность - спектром Операторы Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее y _n, имеет решение при любом значении l_n (в определённой области), во втором - решения существуют только при определённых дискретных значениях l_n. Спектр Операторы может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, Операторы координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а Операторы энергии в зависимости от характера действующих в системе сил - непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения Операторы энергии называются энергетическими уровнями.

Собственные функции и собственные значения Операторы физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. Операторы должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) y_n Операторы этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых Операторы, или эрмитовых операторов.

  С Операторы можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением Операторы ₁ и ₂ понимается такой Операторы  = ₁₂, действие которого на вектор (функцию) y даёт y = y’’, если ₂y = y’ и ₁y’ = y’’. Произведение Операторы в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е. ₁₂ ¹ ₂₁. Этим алгебра Операторы отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух Операторы тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти Операторы Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство ₁₂ = ₂₁ (см. Перестановочные соотношения).

  Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им Операторы Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому Операторы в квантовой механике иногда называют q-числами, в отличие от с-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика.

Операторы можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от Операторы Произведение эрмитовых Операторы в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы Операторы, важным классом которых являются унитарные операторы. Унитарные Операторы не меняют норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного Операторы описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными Операторы преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические).

  В квантовой механике применяется также Операторы комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого Операторы на унитарный Операторы называются антиунитарным Операторы Антиунитарные Операторы описывают преобразование обращения времени и некоторые др.

В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод квантования вторичного, в котором рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся Операторы, действие которых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (Операторы рождения и поглощения частиц). Операторы рождения или поглощения частицы в данной точке х, (х) формально подобен волновой функции y(х), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физической величине соответственно в квантовой и классической механике. Такие Операторы образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц; см. Квантовая теория поля).
 
  Лит. см. при статьях Квантовая механика, Квантовая теория поля.
  В. Б. Берестецкий.