Периодическая функция

Определение "Периодическая функция" в Большой Советской Энциклопедии

Периодическая функция, функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются Периодическая функция с периодом 2p; {x} — дробная часть числа х — Периодическая функция с периодом 1; показательная функция e^x (если х — комплексное переменное) — Периодическая функция с периодом 2pi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая Периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Если Периодическая функция имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k = ±1, ± 2,.... Сумма, произведение и частное Периодическая функция с одним и тем же периодом являются Периодическая функция с тем же периодом. Производная Периодическая функция есть Периодическая функция с тем же периодом, однако интеграл от Периодическая функция f (x) с периодом Т будет Периодическая функция (с тем же периодом) лишь в том случае, когда . Фундаментальная теорема теории Периодическая функция утверждает, что Периодическая функция f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:
;

  коэффициенты этого ряда выражаются через f (x) по формулам Эйлера — Фурье (см. Тригонометрические ряды, Фурье коэффициенты).

  Для непрерывной Периодическая функция комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T₁ и T₂, отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k₁T₁ + k₂T₂, где k₁ = 0,±1, ±2,... и k₂ = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае Периодическая функция называется двоякопериодической функцией. Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f (x + T₁) = a₁f (x) и f (x + T₂) = a₂f (x) или f (x + T₁) =  и f (x + T₂) -= e^a₂^x f (x)].

  Сумма Периодическая функция с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cos) не есть Периодическая функция]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к Периодическая функция; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций. Периодическая функция играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.