Плотные и неплотные множества

Определение "Плотные и неплотные множества" в Большой Советской Энциклопедии

Плотные и неплотные множества, понятия множеств теории. Множество Е называется плотным на М, если каждая точка множества М является предельной точкой Е, т. е. в любой окрестности имеются точки, принадлежащие Е. Плотные множества на всей прямой называются всюду плотными. Множество называется нигде не плотным (на прямой ), если оно неплотно ни на каком интервале, иными словами, если каждый интервал прямой содержит подинтервал, целиком свободный от точек данного множества. Аналогично определяются множества, нигде не плотные на плоскости или, вообще, в произвольном топологическом пространстве. Для того чтобы замкнутое множество было нигде не плотным, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было всюду плотно. Примером замкнутого (даже совершенного) нигде не плотного множества является т. н. канторово совершенное множество (см. Кантора множество). Сумму счётного множества нигде не плотных множеств называется множеством первой категории, а дополнение к множеству первой категории - множеством второй категории. Эти понятия играют важную роль в теории линейных нормированных пространств (см. Линейное пространство). Различные категории множеств существенны также в теории единственности тригонометрических рядов.
 
  Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, ч. 1, М. - Л., 1948.