БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Штурма-Лиувилля задача

Значение слова "Штурма-Лиувилля задача" в Большой Советской Энциклопедии


Штурма - Лиувилля задача, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения

  -[p (x) y"]" + q (x) y = ly, (1)

  удовлетворяющих граничным
условиям вида

  A1y (a) + B1y"(a) 0, А2у (b) + B2y"(b) = 0

  (т. н. собственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х), q (x) Ш.-Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида

  -y" + q (x) y = ly. (2)

  Была впервые (1837-41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж. Ш. Ф. Штурмом.

  Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.- Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.- Л. з. для уравнения -у" = lу с граничными условиями y (0) = y (p) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12, 22,..., n2,..., которым соответствуют собственные функции sinnx, образующие на отрезке [0, p] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x) в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a, b], a A1, B1, A2, B2 - действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений l1,..., lп,..., стремящаяся к бесконечности, причём каждому из lп соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция jп (х), имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции jп (х) образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х)]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе jп (х) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.¾ Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения -у" = lу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.- Л. з.

  Иногда Ш.- Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:

  aiy (а) + biy"(а) + giy (b) + diy"(b) = 0, i = 1, 2,

  где ai, bi, gi, di - постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а) = у (b), y"(a)=y"(b) (периодические условия) и у (а)= -у (b), у"(а) = -y"(b) (полупериодические условия).

  Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.- Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A1y (0)+B1y"(0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций j(х, l), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра l. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида

  ,

  где r(l) - некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу. При этом

 

  и

.

  Аналогичные факты имеют место и для Ш.- Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.-Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции r(l). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном, а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.

  Ш.- Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.

 

  Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.- Л., 1950.

 

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Штурма-Лиувилля задача"

Штурма правило | Буква "Ш" | В начало | Буквосочетание "ШТ" | Штурмовые отряды


Статья про слово "Штурма-Лиувилля задача" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 3971 раз


Интересное