БНБ "БСЭ" (95279) - Photogallery - Естественные науки - Математика - Технология
|
Собственные функцииОпределение "Собственные функции" в Большой Советской Энциклопедии
Собственные функции, понятие математического анализа. При решении многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений L (y) = lу, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям. Такие решения называют Собственные функции задачи, а соответствующие значения l — собственными значениями. Если дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями самосопряжённое (см. Самосопряжённое дифференциальное уравнение), то его собственные значения действительны, а Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если дифференциальное уравнение рассматривается на конечном отрезке и его коэффициенты не имеют на этом отрезке особенностей, то множество Собственные функции счётно (задача имеет дискретный спектр); знание Собственные функции и соответствующих собственных значений позволяет тогда при некоторых условиях получить решение задачи в виде ряда по Собственные функции (см. Фурье метод). Если же уравнение рассматривается на бесконечном промежутке или его коэффициенты имеют особенности (например, если коэффициент при старшей производной обращается в нуль), может существовать континуум Собственные функции, и вместо разложения в ряд получается разложение в интеграл по Собственные функции, аналогичное представлению в виде Фурье интеграла. В этом случае говорят, что задача имеет непрерывный спектр. Многие специальные функции (ортогональные многочлены и др.) служат Собственные функции некоторых уравнений.
Наиболее общим образом Собственные функции можно определить как собственные векторы линейных операторов в линейных функциональных пространствах. В квантовой механике Собственные функции оператора, отвечающего какой-либо физической величине (см. Операторы в квантовой теории), соответствуют состояниям системы, в которых данная физическая величина имеет определённое значение.
Статья про "Собственные функции" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 610 раз |
TOP 20
|
|||||||