Собственные функции

Определение "Собственные функции" в Большой Советской Энциклопедии

Собственные функции, понятие математического анализа. При решении многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений L (y) = lу, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям. Такие решения называют Собственные функции задачи, а соответствующие значения l — собственными значениями. Если дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями самосопряжённое (см. Самосопряжённое дифференциальное уравнение), то его собственные значения действительны, а Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если дифференциальное уравнение рассматривается на конечном отрезке и его коэффициенты не имеют на этом отрезке особенностей, то множество Собственные функции счётно (задача имеет дискретный спектр); знание Собственные функции и соответствующих собственных значений позволяет тогда при некоторых условиях получить решение задачи в виде ряда по Собственные функции (см. Фурье метод). Если же уравнение рассматривается на бесконечном промежутке или его коэффициенты имеют особенности (например, если коэффициент при старшей производной обращается в нуль), может существовать континуум Собственные функции, и вместо разложения в ряд получается разложение в интеграл по Собственные функции, аналогичное представлению в виде Фурье интеграла. В этом случае говорят, что задача имеет непрерывный спектр. Многие специальные функции (ортогональные многочлены и др.) служат Собственные функции некоторых уравнений.
В теории интегральных уравнений Собственные функции ядра К (х, у) называют функцию, удовлетворяющую при некотором значении l уравнению
.
Всякое симметрическое непрерывное ядро имеет Собственные функции В этом случае всякая функция, представимая в виде
,
может быть разложена в ряд по Собственные функции Если ядро имеет особенности или задано в бесконечной области, то может также возникнуть непрерывный спектр.

Наиболее общим образом Собственные функции можно определить как собственные векторы линейных операторов в линейных функциональных пространствах. В квантовой механике Собственные функции оператора, отвечающего какой-либо физической величине (см. Операторы в квантовой теории), соответствуют состояниям системы, в которых данная физическая величина имеет определённое значение.
Иногда Собственные функции называют также фундаментальными функциями, характеристическими функциями и т.д.