Лагранжа уравнения

Определение "Лагранжа уравнения" в Большой Советской Энциклопедии

Лагранжа уравнения,
  1) в гидромеханике — уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Лагранжа уравнения определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения частиц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханических задач идут другим путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Лагранжа уравнения применяют главным образом при изучении колебательных движений жидкости.
Лагранжа уравнения являются уравнениями в частных производных и имеют вид:

(i = 1, 2, 3),

где t — время, х, у, z — координаты частицы, a₁, a₂, a₃ — параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, r — плотность.

Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, r  как функции t и а₁, a₂, a₃. При этом надо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде r = f(Р) (для несжимаемой жидкости r — const).

2) В общей механике — уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами. Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.

Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика). Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические). Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.

Лагранжа уравнения дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Лагранжа уравнения состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1—2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1—2 Лагранжа уравнения Кроме того, при идеальных связях из Лагранжа уравнения автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Лагранжа уравнения широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Лагранжа уравнения приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
Для голономных систем Лагранжа уравнения в общем случае имеют вид:

(i = 1,2, ..., n),

где q_i — обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы,  — обобщённые скорости, Q_i — обобщённые силы, Т — кинетическая энергия системы, выраженная через q_i и .

Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Q_i. После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты q_i и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно q_i. Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости q_i(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.
Когда на систему действуют только потенциальные силы, Лагранжа уравнения принимают вид:

(i = 1,2, ..., n),
где L = Т — П — т. н. функция Лагранжа, а П — потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.

Уравнения (1) и (2) называют ещё Лагранжа уравнения 2-го рода. Кроме них, есть Лагранжа уравнения 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).

Лит. см. при ст. Механика. О Лагранжа уравнения в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.
  С. М. Тарг.