Предельные теоремы

Определение "Предельные теоремы" в Большой Советской Энциклопедии

Предельные теоремы теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые Предельные теоремы — теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) — относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m — число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность p_k наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n ® ¥ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического  вероятностей p_k (1 £ k £ n):

(см. Больших чисел закон). Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k-м испытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то m можно представить в виде суммы
m = X₁ + X₂ +... + X_n,

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих Предельные теоремы, относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).
Закон больших чисел. Пусть
X₁,  X₂,..., X_n,...     (*)
— какая-либо последовательность независимых случайных величин, s_n — сумма первых n из них
s_n = X₁ + X₂ +... + X_n,
A_n и B²_n — соответственно математическое ожидание
A_n= Е s_n = Е X₁ + E X₂ +... + EX_n,
и дисперсия

B²_n= D s_n -= D X₁ +D X₂ +... + DX_n,
суммы s_n. Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом e > 0 вероятность неравенства

стремится к нулю при n ® ¥.

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины X_n имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины X_n  должны иметь конечные математические ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых z₁ и z₂ вероятность неравенства
z₁B_n < s_n — A_n < z₂B_n
имеет пределом при n ® ¥ — величину

(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной предельной теоремы были указаны Чебышевым (1887), но и в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть
c_k = E|X_k — ЕХ_к|^2+d, d > 0
C_n = c₁ + c₂ +... + c_n.

  Если отношение  стремится к нулю при n ® ¥, то к последовательности (*) применима центральная предельная теорема. Окончательное решение вопроса об условиях приложимости центральной предельной теоремы получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (1935).
Из др. направлений работ в области Предельные теоремы можно отметить следующие.
1) Начатые Марковым и продолженные Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы к суммам зависимых величин.

2) Даже в случае последовательности одинаково распределённых случайных величин можно указать простые примеры, когда суммы имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идёт о невырожденных распределениях, т. е. о распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке). В работах советских математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, французских математиков П. Леви, В. Дёблина и др. полностью изучены как класс возможных предельных распределении для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению.

3) Значительное внимание уделяется т. н. локальным Предельные теоремы Пусть, например, величины X_n принимают лишь целые значения. Тогда суммы s_n принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей P_n (m) того, что s_n = m (где m — целое). Простейшим примером локальной Предельные теоремы может служить локальная теорема Лапласа (см. Лапласа теорема).

  4) Предельные теоремы в их классической постановке описывают поведение отдельной суммы s_n с возрастанием номера n. Достаточно общие Предельные теоремы для вероятностей событий, зависящих сразу от нескольких сумм, получены впервые Колмогоровым (1931). Так, например, из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства

имеет пределом величину
 (z > 0)

  5) Перечисленные выше П, т. относятся к суммам случайных величин. Примером Предельные теоремы иного рода могут служить Предельные теоремы для членов вариационного ряда. Эти Предельные теоремы подробно изучены советскими математиками Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирновым.

6) Наконец, к Предельные теоремы относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., например, Повторного логарифма закон).
 

  Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. — Л., 1949; Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973.
  Ю. В. Прохоров.