Неравенства (матем.)

Определение "Неравенства (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Неравенства (математические), соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Неравенства (матем.) употребляется знак <, обращенный остриём к меньшему числу. Так, соотношения 2 > 1 и 1 < 2 выражают одно и то же, а именно: 2 больше 1, или 1 меньше 2. Иногда несколько Неравенства (матем.) записываются вместе (например, а < b < с). Желая выразить, что из двух чисел а и b первое или больше второго, или равно ему, пишут: а ³ b (или b £ а) и читают: «а больше или равно b» (или «b меньше или равно а») либо короче: «а не меньше b» (или «b не больше а»). Запись а ¹ b означает, что числа а и b не равны, но не указывает, какое из них больше. Все эти соотношения также называются Неравенства (матем.)

Неравенства (матем.) обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, Неравенства (матем.) остаётся справедливым, если к обеим частям его прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножать обе части Неравенства (матем.) на одно и то же положительное число. Однако если обе части Неравенства (матем.) умножить на отрицательное число, то смысл Неравенства (матем.) изменится на обратный (т. е. знак > заменяется на <, а < на >). Из неравенства А < В и С < D следует А + С < В + D и А - D < В - С, т. е. одноимённые Неравенства (матем.) (А < В и С < D) можно почленно складывать, а разноимённые Неравенства (матем.) (А < В и D > С) — почленно вычитать. Если числа А, В, С и D положительны, то из неравенств А < В и С < D следует также AC < BD и A/D < В/С, т. е. одноимённые Неравенства (матем.) (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноимённые — почленно делить.

Неравенства (матем.), в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство x² — 4x + 3 > 0 верно при х = 4 и неверно при х = 2. Для Неравенства (матем.) этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в Неравенства (матем.) величины для того, чтобы Неравенства (матем.) были справедливы. Так, переписывая неравенство x² — 4x + 3 > 0 в виде: (х — 1)(х — 3) > 0, замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств: х < 1, х > 3, которые и являются решением данного Неравенства (матем.)
Укажем несколько типов Неравенства (матем.), выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.
1)   Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a₁, a₂,..., a_n справедливо Неравенства (матем.)

|a₁ + a₂ + … + a_nI £ Ia₁| + Ia₂I +... + Ia_n|.
  2) Неравенство для средних. Наиболее известны Неравенства (матем.), связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние:

3) Линейные неравенства. Рассматривается система Неравенства (матем.) Вида
a_i1x₁ + a_i2x₂ +... + a_inx_n (b_i ³ i = 1, 2,..., m).

  Совокупность решений этой системы Неравенства (матем.) представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n-мepном пространстве (x₁, x₂,..., x_n); задача теории линейных Неравенства (матем.) состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Неравенства (матем.) тесно связаны с теорией наилучших приближений, созданной П. Л. Чебышевым.

  См. также Бесселя неравенство, Буняковского неравенство, Гельдера неравенство, Коши неравенство, Минковского неравенство.

  Неравенства (матем.) имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — диофантовы приближения — полностью основан на Неравенства (матем.); аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Неравенства (матем.) В алгебре даётся аксиоматическое обоснование Неравенства (матем.); линейные Неравенства (матем.) играют большую роль в теории линейного программирования. В геометрии Неравенства (матем.) постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических задачах. В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Неравенства (матем.) (см., например, Чебышева неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные Неравенства (матем.) (см., например, Чаплыгина метод). В теории функций постоянно употребляются различные Неравенства (матем.) для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Неравенства (матем.) треугольника
||х + у|| £ ||x|| + ||y||.
Многие классические Неравенства (матем.) в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них.
Лит.: Коровкин П. П., Неравенства, 3 изд., М., 1966; Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948.