Проективное преобразование

Определение "Проективное преобразование" в Большой Советской Энциклопедии

Проективное преобразование, взаимно однозначное отображение проективной плоскости или проективного пространства в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому Проективное преобразование иногда называется коллинеацией). Проективное преобразование проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером Проективное преобразование является гомология — Проективное преобразование, оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером Проективное преобразование пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F", расположенную в плоскости П", любое Проективное преобразование получается конечной последовательностью перспектив. Проективное преобразование образуют группу, основным инвариантом которой является двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп Проективное преобразование, оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).

Основная теорема о Проективное преобразование проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A", B", C", D" той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно Проективное преобразование, которое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки A", B", C", D". Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там Проективное преобразование определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.

В однородных координатах Проективное преобразование выражается однородным линейным преобразованием, определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также Проективное преобразование евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями, причём свойство взаимной однозначности утрачивается.
Лит. см. при ст. Проективная геометрия.