Характеристическая функция

Определение "Характеристическая функция" в Большой Советской Энциклопедии

Характеристическая функция в математике,
1)      то же, что собственная функция.

2) Характеристическая функция множества А (в современной терминологии - индикатор А) - функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и принимающая значение f (x) = 1, если x принадлежит множеству А, и значение f (x) = 0, если x не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей Характеристическая функция f_X (t) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины e^itX. Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности p_X (x), приводит к формуле
.
Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, Характеристическая функция равна
.

Свойства Характеристическая функция: каждой случайной величине Х соответствует определённая Характеристическая функция f_X (t); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по f_X (t); при сложении независимых случайных величин соответствующие Характеристическая функция перемножаются; при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Характеристическая функция, мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Характеристическая функция соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Характеристическая функция, в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Характеристическая функция, был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода Характеристическая функция была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.
Понятие Характеристическая функция может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).
Теория Характеристическая функция имеет много общего с теорией Фурье интеграла.
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.