![]() |
![]() |
![]() |
|||||||
БНБ "БСЭ" (95279) - Photogallery - Естественные науки - Математика - Технология
|
Функциональный анализ (математ.)Определение "Функциональный анализ (математ.)" в Большой Советской ЭнциклопедииФункциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Функциональный анализ (математ.) характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования. Развитие Функциональный анализ (математ.) происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Функциональный анализ (математ.) наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Функциональный анализ (математ.) 1. Возникновение функционального анализа. Функциональный анализ (математ.) как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Функциональный анализ (математ.) сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Функциональный анализ (математ.) оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Функциональный анализ (математ.)»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2 и L2(a, b) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp (a, b), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Функциональный анализ (математ.) к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др. Для современного этапа развития Функциональный анализ (математ.) характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Функциональный анализ (математ.), являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел
||lx || = |l| ||x||, l Î В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x, у Î Х называется комплексное число (x, у) такое, что всегда (x, x) ³ 0 и (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства. Однако в Функциональный анализ (математ.) играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x, у Î Н называются ортогональными (x ^ y), если (x, у) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F - линейное замкнутое подмножество Н, т. е. такой вектор xF, что x-xF^f для любого f Î F. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса - последовательности векторов ej, j Î
где xj = (x, ej), ||x|| = å
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X, Y - линейные пространства; отображение A: X ® Y называется линейным, если для x, у Î X, l, m Î
где x1,..., xn и (Ax)1,..., (Ax) n - координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а, b) в него же оператор
(где K (t, s) - ограниченная функция - ядро А) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1(a, b) Ì L2(a, b) оператор дифференцирования
Непрерывный оператор A: X ® Y, где X, Y - банаховы пространства, характеризуется тем, что
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов
Важной задачей Функциональный анализ (математ.) является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (lp)¢, p > 1, состоит из функций вида å
Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, b] из пространства C1[a, b], снабженного нормой 4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y, где С - некоторый оператор, у Î Y - заданный, а x Î Х - искомый векторы. Например, если Х = Y = L2 (а, b), С = Е - А, где А - оператор из (2), а Е - тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x - Ax = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения: для некоторого оператора А: Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора) уравнения Аj = lj при некотором l Î где lj, - собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А.
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t, s) = K (s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]
Пусть Х - банахово пространство, А Î При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z) ® f (A) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н ® Н называется самосопряжённым, если (Ax, у) = (x, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А; другими словами, имеют место разложения: где P (lj) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А, отвечающие одному и тому же собственному значению lj.
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н, только сами проекторы P (lj) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Функциональный анализ (математ.) является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в Важной задачей нелинейного Функциональный анализ (математ.) является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения F, если Fx = x). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Функциональный анализ (математ.) явление - т. н. точки ветвления (решений). При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Функциональный анализ (математ.) развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Функциональный анализ (математ.) изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy|| £ ||x|| ||y||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C (T) с обычным умножением, L1(
Пусть
- обобщённое преобразование Фурье функций f (g) и k (g), которое продолжается до изоморфизма L2(G, dg) в L2(
Если G =
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-3, М., 1962-74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Статья про "Функциональный анализ (математ.)" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 626 раз |
TOP 20
|
|||||||