Распределения

Определение "Распределения" в Большой Советской Энциклопедии

Биномиальное распределение

Распределения, одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределения вероятностей какой-либо случайной величины, т. е. величины, принимающей в зависимости от случая то или иное численное значение, задаётся указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей. Так, например, для числа m очков, выпадающих на верхней грани игральной кости, Распределения вероятностей p_m задаётся табличкой:

Геометрическое распределение

Возможные значения m	1	2	3	4	5	6
Соответствующие вероятности pm	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Плотность логарифмически-нормального распределения

Подобным же образом Распределения любой случайной величины X, возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием этих значений
x₁, x₂, ..., x_n, ...
и соответствующих им вероятностей
p₁, p₂, ..., p_n, ...

Равномерное распределение

При этом вероятности p_m должны быть положительны и в сумме должны давать единицу. Распределения указанного типа называются дискретными. Примером дискретного Распределения может служить Пуассона распределение, определяемое вероятностями
, r = 0, 1, 2, …,
где l > 0— параметр.

Однако задание Распределения указанием возможных значений x_n и соответствующих вероятностей p_n не всегда возможно. Например, если величина распределена «равномерно» на отрезке [—¹/₂, +¹/₂], подобно «ошибкам округления» при измерении непрерывных величин, то вероятность каждого отдельного значения равна нулю. Распределения таких случайных величин задаётся указанием вероятности того, что случайная величина Х примет значение из любого наперёд заданного интервала. В том случае, когда существует функция p_X (x) такая, что вероятность попадания Х в любой интервал (а, b) равна

  Распределения величины Х называется непрерывным. Функция p_X (x) носит название плотности вероятности. Плотность вероятности неотрицательна и обладает тем свойством, что

В указанном выше случае равномерного Распределения на отрезке [—¹/₂, +¹/₂]

  Важнейшее Распределения непрерывного типа — нормальное распределение с плотностью

  (а и s > 0 — параметры).

Распределения случайных величин не исчерпываются дискретным и непрерывным типами: они могут быть и более сложной природы. Поэтому желательно иметь такое описание Распределения, которое было бы пригодно во всех случаях. Это описание может быть достигнуто, например, при помощи т. н. функции распределения F_X (x). Значение этой функции при каждом фиксированном х равно вероятности Р {Х < х} того, что случайная величина х примет значение, меньшее x, т. е.
F_X (x) = Р {Х < x}.

  Функция Распределения есть неубывающая функция x, изменяющаяся от 0 до 1 при изменении х от — ¥ до + ¥. Вероятность того, что Х примет значение из некоторого полуинтервала [a, b), равна вероятности того, что Х будет удовлетворять неравенству а £ Х < b, т. е. равна
F (b) - F (a).

  Примеры. 1) Пусть Е — некоторое событие, вероятность появления которого есть р, где 0 < р < 1. Тогда число m появлений события Е при n независимых наблюдениях есть случайная величина, принимающая значения m = 0, 1, 2, ..., n с вероятностями
 (q = 1 - p)

Это Распределения носит название биномиального распределения. Биномиальное Распределения (см. рис. 1, а и б) при больших n близко к нормальному в силу Лапласа теоремы.
  2) Число наблюдений до первого появления события Е из примера 1 есть случайная величина, принимающая все целые значения m = 1, 2, 3, ... с вероятностями
p_m = q^m-1p.

  Это Распределения, носит название геометрического, т.к. последовательность {pm} есть геометрическая прогрессия (см. рис. 2, а и б).

3) Распределения, плотность которого р (х) равна ¹/₂h на некотором интервале (а — h, а + h) и равна нулю вне этого интервала, носит название равномерного распределения. Соответствующая функция Распределения растет линейно от 0 до 1 при изменении х от а — h до а + h (см. рис. 3, а и б).

Дальнейшие примеры Распределения вероятностей см. в статьях Коши распределение, Пирсона кривые, Полиномиальное распределение, Показательное распределение,  «Хи-квадрат» распределение, Стьюдента распределение.

  Пусть случайные величины Х и Y связаны соотношением Y = f (X), где f (x) — заданная функция. Тогда Распределения Y может быть довольно просто выражено через Распределения X. Например, если Х имеет нормальное Распределения и Y = e^X, то Y имеет т. н. логарифмически-нормальное распределение с плотностью (см. рис. 4)
.

Формулы, связывающие Распределения величин X и Y, становятся особенно простыми, когда Y = aX + b, где а и b — постоянные. Так, при a > 0

Часто полное описание Распределения (например, при помощи плотности или функции Распределения) заменяют заданием небольшого числа характеристик, которые указывают или на наиболее типичные (в том или ином смысле) значения случайной величины, или на степень рассеяния значений случайной величины около некоторого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Математическое ожидание EX случайной величины X, имеющей дискретное Распределения, определяется как сумма ряда

при условии, что этот ряд сходится абсолютно. Для случайной величины X, имеющей Распределения непрерывного типа с плотностью p_X (x), математическое ожидание определяется формулой
EX =

при условии, что написанный интеграл сходится абсолютно. Если Y = f (X), то EY может быть вычислено двумя способами. Например, если Х и Y имеют непрерывное Распределения, то, с одной стороны, по определению
EY =
с другой стороны, можно показать, что
EY =
Дисперсия DX определяется как
DX = Е (Х — EX)²,
т. е., например, для непрерывного Распределения
DX =

  Распределения вероятностей имеют много общего с Распределения каких-либо масс на прямой. Так, случайной величине X, принимающей значения x₁ x₂ ..., x_n c вероятностями p₁, p₂, ..., p_n, можно поставить в соответствие Распределения масс, при котором в точках x_k размещены массы, равные p_k. При этом формулы для EX и DX оказываются совпадающими с формулами, определяющими соответственно центр тяжести и момент инерции указанной системы материальных точек. Подробнее о числовых характеристиках Распределения см. в статьях Квантиль, Медиана, Мода, Математическое ожидание, Вероятное отклонение, Дисперсия, Квадратичное отклонение.

  Если складываются несколько независимых случайных величин, то их сумма будет случайной величиной, Распределения которой зависит только от Распределения слагаемых (чего не будет, как правило, при сложении зависимых случайных величин). При этом, например, для случая двух слагаемых, каждое из которых имеет Распределения непрерывного типа, имеет место формула:
     (*)

В весьма широких предположениях Распределения суммы независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых приближается к нормальному Распределения или к др. предельным Распределения (см. Предельные теоремы теории вероятностей). Однако для установления этого факта явные формулы типа (*) практически непригодны, поэтому доказательство ведётся обходным путём, обычно с использованием т. н. характеристических функций.

Статистические распределения и их связь с вероятностными. Пусть произведено n независимых наблюдений случайной величины X, имеющей функцию Распределения F (x). Статистическое Распределения результатов наблюдений задаётся указанием наблюдённых значений x₁, x₂, ..., x_r случайной величины Х и соответствующих им частот h₁, h₂, ..., h_r (т. е. отношений числа наблюдений, в которых появляется данное значение, к общему числу наблюдений). Например, если при 15 наблюдениях значение 0 наблюдалось 8 раз, значение 1 наблюдалось 5 раз, значение 2 наблюдалось 1 раз и значение 3 наблюдалось 1 раз, то соответствующее статистическое Распределения задаётся табличкой:

 

Наблюдённые значения Xm	0	1	2	3
Соответствующие частоты hm	8/15	1/3	1/15	1/15

Частоты всегда положительны и в сумме дают единицу. С заменой слова «вероятность» на слово «частота» к статистическому Распределения применимы многие определения, данные выше для Распределения вероятностей. Так, если x₁, x₂, ..., x_r — наблюдённые значения X, a h₁, h₂, ..., h_r — частоты этих наблюдённых значений, то соответствующие статистическому Распределения среднее и дисперсия (т. н. выборочное среднее и выборочная дисперсия) определяются равенствами

,
а соответствующая функция Распределения (т. н. эмпирическая функция распределения) — равенством
F*(x) = n_x/n,

где n_x — число наблюдений, результат которых меньше х. Статистическое Распределения и его характеристики могут быть использованы для приближённого представления теоретического Распределения и его характеристик. Так, например, если Х имеет конечные математическое ожидание и дисперсию, то, каково бы ни было e > 0, неравенства

выполняются при достаточно большом n с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Т. о.,  и s² суть состоятельные оценки для EX и DX соответственно (см. Статистические оценки). Советский математик В. И. Гливенко показал, что при любом e > 0 вероятность неравенства

при всех x стремится к единице при n, стремящемся к бесконечности. Более точный результат установлен сов. математиком А. Н. Колмогоровым; см. об этом Непараметрические методы в математической статистике.

  Многомерные распределения. Пусть Х и Y — две случайные величины. Каждой паре (X, Y) можно отнести точку Z на плоскости с координатами Х и Y, положение которой будет зависеть от случая. Совместное Распределения величин Х и Y задаётся указанием возможных положений точки Z и соответствующих вероятностей. Здесь также можно выделить два основных типа Распределения

1) Дискретные распределения. Возможные положения точки Z образуют конечную или бесконечную последовательность. Распределения задаётся указанием возможных положений точки Z
z₁, z₂, ..., z_n, ...
и соответствующих вероятностей p₁, p₂, ..., p_n, ...
2) Непрерывные распределения задаются плотностью вероятности р (x, у), обладающей тем свойством, что вероятность попадания точки Z в какую-либо область G равна

  Пример: двумерное нормальное Распределения с плотностью
,
где

m_X = EX, m_Y = EY,
,
— математические ожидания и дисперсии величин Х и Y,

и R — коэффициент корреляции величин Х и Y:

  Аналогично можно рассматривать Распределения вероятностей в пространствах трёх и большего числа измерений. О многомерных Распределения см. также Корреляция, Регрессия.

  О возможности дальнейших обобщений и о связи между понятием меры множества и понятием Распределения см. Вероятностей теория.
 

  Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, д изд., М., 1969; Крамер Г., Математические методы статистики пер. с англ., М., 1948; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968
  Ю. В. Прохоров.