Уравнение

Определение "Уравнение" в Большой Советской Энциклопедии

Уравнение в математике, аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, – решениями (корнями); о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному Уравнение Например, 3x – 6 = 0 является Уравнение с одним неизвестным, а х = 2 есть его решение; x² + y² = 25 является Уравнение с двумя неизвестными, а х = 3, y = 4 есть одно из его решений. Совокупность решений данного Уравнение зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. Уравнение может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если Уравнение разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, Уравнение x⁴ – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения:

x₁ = , x₂ = – в области действительных чисел и четыре решения: x₁ = , x₂ = –, x₃ = i, x₄ = –  в области комплексных чисел. Уравнение sinx = 0 имеет бесконечное множество решений: x_k = kp (k = 0, ± 1, ± 2,...) в области действительных чисел. Если Уравнение имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М. Например, Уравнение х =  является тождеством в области неотрицательных чисел и не является тождеством в области действительных чисел.

Совокупность Уравнение, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим Уравнение, называется системой Уравнение; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем Уравнение системы, – решениями системы. Например, х + 2y = 5, 2x + у – z = 1 является системой двух Уравнение с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является х = 1, у = 2, z = 3.

Две системы Уравнение (или два Уравнение) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного Уравнение) является решением др. системы (другого Уравнение), и наоборот, причём обе системы (оба Уравнение) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения). Например, Уравнение х – 4 = 0 и 2x – 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих Уравнение является лишь х = 4. Всякая система Уравнение равносильна системе вида f_k (x₁, x₂,..., х_п) = 0, где k = 1, 2,... Процесс разыскания решений Уравнение заключается обычно в замене Уравнение равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное Уравнение другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного Уравнение Решения нового Уравнение, не являющиеся решениями данного Уравнение, называются посторонними решениями (см. Посторонний корень).

Например, возводя в квадрат Уравнение , получают Уравнение x - 3 = 4, решение которого х = 7 является посторонним для исходного Уравнение Поэтому, если при решении Уравнение делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение Уравнение в квадрат), то все полученные решения преобразованного Уравнение проверяют подстановкой в исходное Уравнение

Наиболее изучены Уравнение, для которых функции f_k являются многочленами от переменных x₁, x₂,..., х_п, – алгебраические Уравнение Например, алгебраическое Уравнение с одним неизвестным имеет вид:
a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n = 0 (a₀ ¹ 0); (*)

число n называется степенью Уравнение Решение алгебраич. Уравнение было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических Уравнение 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра, Кардано формула) (правила решения алгебраических Уравнение 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней Уравнение 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти Уравнение, вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель, 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических Уравнение в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических Уравнение (см. Галуа теория).

Каждое алгебраическое Уравнение всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если a – решение Уравнение (*), то многочлен a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n делится на х – a. Если он делится на (х – a) ^k, но не делится на (х – a) ^k+1, то решение a имеет кратность k. Число всех решений Уравнение (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n.

Если f (x) – трансцендентная функция, то Уравнение f (x) = 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение), причём в зависимости от вида f (x) оно называется тригонометрическим Уравнение, логарифмическим Уравнение, показательным Уравнение Рассматриваются также иррациональные Уравнение, то есть Уравнение, содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении Уравнение обычно применяются различные приближённые методы решения Уравнение

Среди систем Уравнение простейшими являются системы линейных Уравнение, то есть Уравнение, в которых f_k суть многочлены первых степеней относительно x₁, x₂,..., х_п (см. Линейное уравнение).

Решение системы Уравнение (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного Уравнение при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант).

В аналитической геометрии одно Уравнение с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному Уравнение Одно Уравнение с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы Уравнение совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. Уравнение с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n-мерных пространствах.

В теории чисел рассматриваются неопределенные Уравнение, то есть Уравнение с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения). Например, целые решения Уравнение x² + y² = z² вид х = m²-n², у = 2 mn, z = m² + n² где m и n – целые числа.

С наиболее общей точки зрения, Уравнение является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А, что F (a) = Ф (а), где F и Ф – заданные отображения множества А в множество В. Если множества А и В являются множествами чисел, то возникают Уравнение рассмотренного выше вида. Если А и В – множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы Уравнение, если же A и В – множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также дифференциальные уравнения, интегральные уравнения и др. виды Уравнение Наряду с вопросами нахождения решения Уравнение в общей теории Уравнение различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.

Термин «Уравнение» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические, Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов.